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2013年11月12日 (火)

かけ算の順序

1月ほど前だったか、つぶやきで子供が小学校のテストのかけ算で、式での順番が違うとのことで×をもらったというのを目にした。その時は、「そうか~」ぐらいの気持ち。

ところが、今日は別の調べ物をしてたら、かけ算の順番に関するページを目にした。気になって調べたら、結構出てくる。ウィキペディアに、「かけ算の順序問題」のページがあるくらい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%8B%E3%81%91%E7%AE%97%E3%81%AE%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%95%8F%E9%A1%8C

例えば、リンゴ3個の皿が2つあったら、個数は3*2=6と書くべきところを、2*3=6と書いて×なのはおかしいというもの。相当昔の新聞に出てたとか指導要領との関係とか、海外(アメリカなど)じゃ逆に習ったとか、、、、。大学の、しかも数学の先生がおかしいと書いてるページもあった。

要は、a*b=b*aの交換則が頭にあるようだ。(個人的には、帰国子女などの多少のショックも背景にありそうに思う。)


自分は、おかしいとしてる人(特に数学の先生とか理数系の人)の考えが今ひとつ良く分からない。例えば、売り上げ予測のレポートなどで、月に100万円の売り上げがあり年間予測をする場合に、「100万円*12」とか書くけど「12*100万円」とは、まず書かない。添削なり修正することが多いだろう。消費電力などもそう。

物理で言えば、E=mc²のエネルギー保存則は、常識的に質量(m)を先にしてる。それをE=c²mと書いたら、常識を疑うし論文としては、まず落ちるだろう。

数学でも、例えば初項 a、公差 d の等差数列の一般項 an は

an=a+(n-1)d

と表すけど、an=(n-1)d+a とは普通表さない。

式とは、お互いの理解しやすくするルールみたいなものである。日本では、そのルールの基本を小学校で教えていると考えれば、納得いくと思われる。(上のエネルギー保存則や等差数列の式は海外でも同様のはずだから、むしろアメリカなどの教え方の方が後々苦労すると思われる。苦労は言い過ぎだろうけど。)


なんか自分の子供が×をもらったり、アメリカなどで教育を受けて日本のやり方が違ったりして、目くじら立てて、本質的にどっちが良いか判断しようとしてないように思えてならない。

11月 12, 2013 日記・コラム・つぶやき |

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コメント

社会で規格が統一されていないのに、「これ以外は間違い」と教えてはダメでしょう。

投稿: 通りすがり | 2013/11/16 7:46:03

再び失礼します。

等差数列の式にある(n-1)dは、トランプ配りのような考え方を使わないならば、「dが(n-1)個」ですよね。n=4ならa4=a+d+d+d。
日本の小学校の教え方に従えば、d(n-1)となるはずです。
エネルギー保存則や等差数列の式は海外で使われていたものがそのまま入ってきたものなので、アメリカなどと同じ教え方にしないと後々苦労すると考える方が自然ではないでしょうか。

投稿: 通りすがり | 2013/11/16 13:03:28

初めまして。


E=mc²やan=a+(n-1)dは単なる慣習です。


速度v 時間tでの移動距離はvt という場合が多いけど、vがベクトルなら、スカラー×ベクトルの順という慣習でtvとすべき、という人もいるかもしれません。

 要するにどっちでもいいから、語呂とは言いやすい方とかで何となく決まっていると言うだけの話です。

 さらに(ひとつ分)×(いくつ分)は慣習ですらなく、単に最初にそれでかけ算を導入すると言うだけのこと。

>自分は、おかしいとしてる人(特に数学の先生とか理数系の人)の考えが今ひとつ良く分からない。

とのことですが、順序批判をしている人の意見を本当にちゃんと読んだのでしょうか?

「なんか自分の子供が×をもらったり、アメリカなどで教育を受けて日本のやり方が違ったりして、目くじら立てて、本質的にどっちが良いか判断しようとしてないように思えてならない。」

本当に順序批判の意見がそのように見えるのですか?

長方形の面積を横×縦だとバツ、という事例があるのをご存じですか?

「足し算の順序が逆」でバツがつく例があるのをご存じですか?

足し算を合併「あわせていくつ」、増加「ふえるといくつ」と区別して、子どもに区別を強要するのをご存じですか?

引き算を求残「のこりはいくつ」、求差「ちがいはいくつ」と区別して、子どもに区別を強要するのをご存じですか?

http://twitpic.com/85wpiq
このようなテストまでやって順序を教え込む意味はなんですか?

投稿: 積分定数 | 2013/11/18 14:59:03

そもそもかけ算の順序を教える側の考えを読んだことがあるのですか?

>式とは、お互いの理解しやすくするルールみたいなものである。日本では、そのルールの基本を小学校で教えていると考えれば、納得いくと思われる。

このような理由で教えている人は余りいないと思いますよ。


つまり、つれづれなる技術屋さんは、

かけ算の順序を教える側 と それを批判する側、双方の意見をろくに知らないで

順序教える側像と、それを批判する側像を勝手に作り上げているのです。

順序教える側は
お互いの理解しやすくするルールの基本を小学校で教えている

批判する側は
自分の子供が×をもらったり、アメリカなどで教育を受けて日本のやり方が違ったりして、目くじら立てて、本質的にどっちが良いか判断しようとしてない

と言う具合に。


順序教える側も批判する側も色んな人がいるから、そのような傾向の人が全くいないとまでは言いませんが、全体から見たら主要な論点ではありません。


順序指導は、お互いの理解しやすくするルールの基本を小学校で教えるため

自分の子供が×をもらったり、アメリカなどで教育を受けて日本のやり方が違ったりして、目くじら立てて、本質的にどっちが良いか判断しようとしてない

という主張の根拠を示して下さい。ちょっとしれ部たらこのような結論にはならないと思います。私には、単に思いつきを書いたとしか思えません。

投稿: 積分定数 | 2013/11/18 15:16:05

「通りすがり」さんの書かれてるのは、規格が統一というか、一般的(敢えて言えば世界的)に普及していることで出題すべきということですね。まっ、りんごと皿の関係式なんて無い訳なので、、、。

なお、それから言うと、等差数列のn番目の項のanの式は一般的に普及しています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97

http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression

当たり前ですが、どちらも (n-1)d です。日本でも (n-1)d で教えています/いるはずです。

dがn-1個と教えてるかは? (私は帰納法”的”に習ったように思います。)

りんごと皿で出題するよりも、「1日に○センチ伸びます。△日では何センチ伸びますか」、みたいな問題が良いのかな、、、。

投稿: ほんだ | 2013/11/18 19:18:38

積分定数さん

双方の意見を詳しく調べるつもりがあってのことではないので、まっご了解頂ければと思います。

>長方形の面積を横×縦だとバツ、という事例があるのをご存じですか?

もしかしたら、目にしたかもしれません。ただ、その場合に×にしたのは、単純ミスを含めて”間違い”ですよね。どんな学校とか塾の先生か知りませんが。

文科省の指導要領では、以下のようにしています。(平成20年版)

 (長方形の面積)=(縦)×(横)(もしくは(横)×(縦))

ちなみに台形の面積などは面積の求め方を教えなさいとは言ってますが、小学校の指導要領では公式には言及していません。(文科省の指導要領でのQ&Aには、そこまでは教えないとの例示として、台形面積の公式の記述はあります。)

まっ、塾とかでは、台形の面積の公式の出題とか採点はするかと思いますけど。

ただし、少なくとも文科省の指導要領に則っているなら、長方形の面積では縦/横は、どちらが先でも良いとしているはずです。「横×縦だとバツ」は、指導要領に則ってない学校とか、採点ミスと考えられます。

>http://twitpic.com/85wpiq このようなテストまでやって順序を教え込む意味はなんですか?

この問題は、ひどいですね。劣悪な問題。^.^;;  どんな学校とか塾、出版社/問題作成業者のものなんでしょうか。

さすがにこんな劣悪なのに対して、どう考えて問題を作ったかは、私には分かりません。 (あめとふくろに関して明確な公式みたいなのがあると考え、そこから考えられる問題をひねくり回したんでしょうけど。)

投稿: ほんだ | 2013/11/20 15:39:50

積分定数さんが記載してた http://twitpic.com/85wpiq の回答を良く見てみたら、変。

この娘さんは、あめの袋が5つあるにも×だし、8つあるにも×をつけてる。

問題自体の是非は別として、どんな発想で袋の2つともに×をつけたんだろう。単なるミスなのか、この類の問題では当てずっぽうにするようになってるのか。あるいは、この問題に限らず、算数の問題全てにそんな考えなのか、、、。

この類をあめと袋とか果物と皿などとは違うもっと良いものにするとか、式の説明をちゃんと記載して出題してみるなどしないと、まずいのかもしれない。なんかふと。

投稿: ほんだ | 2013/11/20 17:34:21

はじめまして。交換則を理由にするのと、帰国子女が学んできたことを理由にするのは、分けたほうがいいと思います。理由の分類が2件、提案されています(2番目は拙作です)。
http://anond.hatelabo.jp/20131119150928
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20131116/1384560000

「大学の数学の先生が」の件は、数学と数学教育学という、2つの学問の違いに注意すると理解しやすくなります。数学的にはご高説もっともだけれど、その立論や仮説を検証する教育実践の場を持っていない、と見ることもできます。
とはいえ数学者と小学校教師の連携もあります。次のところから無料でダウンロードできる論文(PDF)がおすすめです。
http://hdl.handle.net/2433/140889

日本式と海外式のかけ算の比較ですが,ドミニカ共和国で教えたという人の話が参考になります。
http://wihhei.dtiblog.com/blog-entry-171.html

投稿: t.m | 2013/11/20 21:31:43

娘さんの回答はさておき、おかしな問題であることはおわかりかと思います。あれは氷山の一角です。長方形の面積を横×縦だと間違いというのは多数ではないですがたまにあるようです。
http://suugaku.at.webry.info/201102/article_7.html


>自分は、おかしいとしてる人(特に数学の先生とか理数系の人)の考えが今ひとつ良く分からない。

とのことですが、どのあたりがわからないのでしょうか?

>日本では、そのルールの基本を小学校で教えていると考えれば、納得いくと思われる。

とのことですが、かけ算の順序が「ルールの基本を教えるため」とする根拠はなんですか?

(1つ分)×(いくつ分)というのが、一般的な慣習としてあるのですか?

>なんか自分の子供が×をもらったり、アメリカなどで教育を受けて日本のやり方が違ったりして、目くじら立てて、本質的にどっちが良いか判断しようとしてないように思えてならない。

なぜそのように思うのかすごく興味があります。是非教えて下さい。

投稿: 積分定数 | 2013/11/20 23:57:23

t.mさんの書き込みへのコメント

>http://anond.hatelabo.jp/20131119150928

t.mさんの書き込みの前にも目にしました。色んな考えなり意見があるんだな~と、改めて感心してしまいました。

>http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20131116/1384560000

なかなか参考になりました。ありがとうございます。

>http://hdl.handle.net/2433/140889

正直、余りよく分かりませんでした。^.^; もしかしたら読むべき記事を勘違いしているかもしれませんが。

>日本式と海外式のかけ算の比較ですが,ドミニカ共和国で教えたという人の話が参考になります。

情報としてはありがたかったですが、掛け算での教え方に、”日本とは別のものがある/別の方が多い”での参考情報と考えました。(ドミニカ共和国が、毎回数学オリンピックで優勝とかならまた良さを考えますけど。)


で全体的には、自分は単位を含めた掛け算の考えは必要で、それを(日本では)いつ教えた方が良いか、教え方はどうした方が良いかになるように思えました。

距離=単位時間速度*時間 などが典型で、これの式を 時間*単位時間速度 と教えるわけにはいかないでしょう。

中学、高校で学ぶ式を理解する意味でも順番の概念は必要と考えます。例えば球の体積。r↑3を冒頭にするのは良くない。(順序は関係ないとの意見の人は「4/3なんて、なんで覚えさせるんだ! 1.33で良いだろう」なんて言いそうですけど。)

税金の計算なども単位に関係しますね。普通税率は後です。(ただし、州でバラバラなのでアメリカのページが参考になると見たら、消費税率*金額 で示してるサイトもありました。もちろん 金額*消費税との記載もありますが。 どうも向こうのバラバラ感は理解できません。^.^;)

掛け算に限らず足し算などでも同様で、数式での意思疎通のし易さに影響します。大学とかで数学、物理、工学などの論文を書く際に f(a) + f(b) + f(c) と書くべき時に、 f(b) + f(c) + f(a) と書いたり別のところではまた順番を入れ替えてて不統一にして「交換則が成り立つから、どれでも同じでしょう」なんて言って査読が通るかですよね、、、。

他の方のコメントでのひねくり回したような問題には賛同できませんが、くだものの個数と皿の数の問題は適切だと思います。くだものの個数と皿の数の問題が余り好ましくないのなら、距離の問題の方にしても良いかとは思いますが。

また、(最近はというべきか?)小学3年生では小数を教えるので、2年生のうちが良さそうに思います。

くどいかもしれませんが、海外でどう教えてるかよりも、日本ではどうすべきかでの前提での意見です。

投稿: ほんだ | 2013/11/28 15:34:42

少し自己フォローというか、コメントで追記。

「小学校学習指導要領解説 算数編」(平成20年版)をさらっと読んだ。

6年生で円の面積の出し方を習う。そこでの公式は、

 (半径)×(半径)×(円周率)  πr↑2 じゃない。

こんなのも引っかけ的に出題して (円周率)×(半径)×(半径) と書いたらバツにするのかな~。それはちと困る。

個人的には、指導要領の方で「または (円周率)×(半径)×(半径)」と明記してもらいたい気になってきた。

ちなみに中学の指導要領では、球の表面積や体積を中学1年生で習うとしている。その際πを用いた式とは書いてあるが、公式を記載してない(ような、、、、)。


#自分の頃に、円の面積でのπを前に書く/後に書くの違和感を覚えたことはないので、小学校で円の面積の公式での出題に遭遇しなかったのか?? あるいは、昔も (半径)×(半径)×(円周率) で回答して、πr↑2の公式に出くわしたときにすんなり受け入れたのか??

投稿: ほんだ | 2013/11/28 16:12:45

栗が3個乗った皿が4枚あります。栗は全部で何個ありますか?
 教科書的解答 3×4=12  答え12個


皿が2枚あり、それぞれに栗が3個乗っています。栗は全部で何個ありますか?
 教科書的解答 3×2=6  答え6個

1皿当たりの数が先に来て、次に皿の数が来るのが教科書的正解のようです。(うちの小2の教科書によると)

個人的には何故1皿あたりの数を先にしなきゃならないのかわかりません。

ただ、掛ける順番が違えば答えが異なるのが数学の一般的な性質なので(単なる掛け算ではなく行列の積まで含めて)、早い段階で掛ける順番が大切であることを教えているのかな?と好意的に解釈しています。


@takashi_ryuha

投稿: SHOSHI | 2013/12/02 15:38:04

SHOSHIさん

はい、掛ける順番についてを教えるのはやっておくべきだと思います。その後に交換則などを教えて、順番を入れ替えても計算結果は同じと教えたとしても。

例えば、99+17+1は、99と1の加算を先にやっても結果は同じ。25*27*4は、25*4を先にやった方が計算は楽。交換則は、小学生の場合は、そんな便利なときがあるという教え方が良いかと思います。


くだものと皿の件は、スーパーなどでの皿や野菜のパックでの個数、お菓子の箱の個数などの方が実際的で分かりやすいかもしれませんね。ダースなどを絡めても良いかも。

一山での個数を知りたいときに、パックに詰められてる個数を知ってからパックの数を数えるのが自然。1パック4つのりんごが5パックあると、4個*5。(掛け算で単位も掛けることを考えても、個を前にした方が良いでしょうね。単位も掛けるのは、時速*時間での m/h*hみたいなもの。)

まっ、個数と皿の件を公式みたいに考えて、ひねくり回した問題があるのは少し問題でしょうけど。

投稿: ほんだ | 2013/12/04 11:54:13

>自分は、おかしいとしてる人(特に数学の先生とか理数系の人)の考えが今ひとつ良く分からない。例えば、売り上げ予測のレポートなどで、月に100万円の売り上げがあり年間予測をする場合に、「100万円*12」とか書くけど「12*100万円」とは、まず書かない。添削なり修正することが多いだろう。消費電力などもそう。

正しい感覚だと思いますな。

100万円が12個あるから
 100万円×12
となるのであって、それが(日本で採用してきた)かけ算の「定義」。

数学的には
 100万円に12が右から作用している
と考える。(これを理解出来ないひとたちが「どっちも同じ」と声高に叫んでいるように見える。)

100万円が12個ある場合は12を右から作用させるというのが日本での定義。
フランスでは逆(左から作用させる)。

これを、勝手な考えで、どっちの順序でも同じだろうとは言えない。
(答えが同じになるのとは別の話し。答えが同じになることこそが乗法の交換法則と言われるもの。)

なお教育上の問題は別。

ただし最初から「どっちも同じ」なんて小学生にかけ算を導入した最初からどうやって教えるのかね。
かえって「自分に良心的な」子どもは混乱するでしょう。
大人でも説明は難しいはず。(答えが一致するくらいは説明できても、そこまでがせいぜいではないか?)

投稿: nomisuke | 2013/12/27 9:46:31

投稿: 積分定数 | 2013/11/18 14:59:03へのコメント。

>E=mc²やan=a+(n-1)dは単なる慣習です。

その通り。

>速度v 時間tでの移動距離はvt という場合が多いけど、vがベクトルなら、スカラー×ベクトルの順という慣習でtvとすべき、という人もいるかもしれません。

そこは柔軟に対応するのが流儀であり慣習であるな。なお某超一流数学者はある古典的なテキストでベクトルのスカラー倍は右からの作用として書いていて「それをはっきり断っている」ことを御存知か?

>要するにどっちでもいいから、語呂とは言いやすい方とかで何となく決まっていると言うだけの話です。

そういう場面も多いということだ。それが「全て」とカンチガイせんように。

>さらに(ひとつ分)×(いくつ分)は慣習ですらなく、単に最初にそれでかけ算を導入すると言うだけのこと。

「さらに」という接続詞と「すら」という助詞、「単に」という副詞、「だけ」という助詞の使い方が意図的である。「さらに」でも「すら」でも「単に」でも「だけの」でもなく「慣習となっている順序とは異なり」というべきだろうね。意図的な修飾句を除いて正しく述べると
「(ひとつ分)×(いくつ分)は、それでかけ算を導入する(定義する)と言うこと。」
である。

>本当に順序批判の意見がそのように見えるのですか?
長方形の面積を横×縦だとバツ、という事例があるのをご存じですか?
「足し算の順序が逆」でバツがつく例があるのをご存じですか?
足し算を合併「あわせていくつ」、増加「ふえるといくつ」と区別して、子どもに区別を強要するのをご存じですか?
引き算を求残「のこりはいくつ」、求差「ちがいはいくつ」と区別して、子どもに区別を強要するのをご存じですか?

いろいろ勇ましく列挙しとるが、これらは掛け算とは別の問題。掛け算の例もこの延長上にあるかどうかは「掛け算の数学的な意味」を正しく認識してから判断すべきだな。

>http://twitpic.com/85wpiq
このようなテストまでやって順序を教え込む意味はなんですか?

教育上の問題はようわからんし「よい問題」だとも思わんが、おおぜいの「大人」がセンパクな数学の理解をもとに「掛け算に順序があるのはナンセンス」と「声高に叫び」「教科書のアゲアシをとってヨロコンドル」現状を見ると、こういうテストまでして掛け算の定義を確認したくなる気持ちもわかろうというもの。

投稿: nomisuke | 2014/01/10 2:15:40

ブログ管理人 ほんだ様

投稿: nomisuke | 2014/01/10 2:15:40

投稿: nomisuke | 2014/01/10 1:51:05

の2つの投稿でメールアドレスに適当な文字列のつもりで入力した列がすでに使われていた第三者のメールアドレスでした。

お手数ですがメールアドレスに入力した文字列を削除していただけないでしょうか。メールアドレスだけ削除不可能な場合は投稿ごと削除して下すって結構です。(何れ投稿し直させていただきます。)

投稿に不慣れなもので御迷惑をおかけしました。

お手数をおかけしてすみません。

投稿: nomisuke | 2014/01/11 0:13:54

nomisukeさん

メールアドレスの件。実害無いので、そのままとします。(再投稿も不要です。)

よろしくお願いします。

投稿: ほんだ | 2014/01/12 10:56:14

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