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2013年12月 4日 (水)

かけ算の順序 その2

今日の新聞に掲載されていたのは、OECD学習到達度調査2012。以前「かけ算の順序」をブログに書いたけど、それに関連するかのように、面積の公式が出ていた。

多少新聞によって違うのかもしれないけど、日経では数学的応用力の問題として√2を用いて長さを求める問題が書かれていた。なお√2そのものを知っている必要はなく、公式一覧としてピタゴラスの定理が書かれている。そこから導くもの。(もちろん√2を知ってても解ける。)

その公式一覧に、長方形の面積や三角形の面先が書かれている。長方形は、横*縦(図とそれに書かれているa*bとの表記だけど)。同じく三角形は、1/2底辺*高さ。(回答では式を書く必要はなく、計算結果を書くというもの。)

ここで示したのは、ある意味長方形の面積の横*縦は、世界に広まっていると考えて良いと言うこと。ただし、「かけ算の順序」でのコメントに書いたように、現行の指導要領では、”または”縦*横でも良いとしている。

逆に、6年生での円の面積は(半径)×(半径)×(円周率)で、πr↑2 じゃない。

「かけ算の順序」のコメントでは、(円周率)×(半径)×(半径) も○にして欲しい旨を書いたけど、小学校の時に×になっても悪くはないかなという気になってきた。というのも、6年生での円の面積の求め方は、円を細分化して平行四辺形の面積になるという事から導いたものであるからだ。(πr↑2は、中学の時には覚えなさい式の公式だけど、由来は積分。)

逆に、先に進む子が小学生のうちにπr↑2 を知っていたら、小学生のテストの時には(半径)×(半径)×(円周率)で答える方が良いとか、そもそもなんでπr↑2 なのかを教えた方が良いのかもしれない。(半径)×(半径)×(円周率)が良いというよりも、円の面積の小学校での習い方の再復習と言うべきか。

つまり学習の進み具合で、式の教え方でも、少し変化するものもあると言うこと。そんな認識の必要性を感じた。

12月 4, 2013 日記・コラム・つぶやき |

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コメント

扇形を∨∧∨∧∨∧と並べて平行四辺形の面積の公式「底辺×高さ」に当てはめると、底辺=円周÷2=直径×円周率÷2=半径×円周率、高さ=半径で「半径×円周率×半径」となりませんか?

投稿: 通りすがり | 2013/12/05 6:34:35

通りすがりさん

>「半径×円周率×半径」となりませんか?

はい、そうです。それを変形して、 半径×半径×円周率 としています。教えていますと言うべきかもしれません。

意見としては、 半径×円周率×半径 でも良いじゃないかとか、テストで 半径×円周率×半径 の式を書いたら×だったということもあるかもしれませんね。(これは、先に進んだ子が小学校のテストで 円周率×半径×半径 と書いて×になるのと結果的には同じ。)

で、小学校では 半径×半径×円周率 と教える方が良いのには、根拠があると考えます。そもそも rπr よりは、πr↑2 や r↑2 πの方が、式としてすっきりしてます。また、小学校の場合、円の面積の求め方とその面積の概算が重要になります。正方形にぴったりの円を考えて、円の方は正方形よりは小さいけど、1/4正方形3つよりは大きそう。(あるいは、超概算では正方形3つくらい。)

なので、1/4正方形の面積(r↑2)の円周率倍という考えが重要で、r↑2 πと教えてる。個人的には、それで構わないと考えます。

投稿: ほんだ | 2013/12/05 9:38:21

>それを変形して、
>1/4正方形の面積(r↑2)の円周率倍という考え
そうすると、細分化して平行四辺形の面積になるとか由来は積分とかは、順序と関係無いですね…。

投稿: 通りすがり | 2013/12/05 10:15:23

順序と関係ないというか、順序が変わってくから、覚え方なり教え方を、変えていった方が良いというのが個人的な考えです。

小学校で (半径)×(半径)×(円周率) で覚えて、中学じゃ (円周率)×(半径)×(半径) 。 2つともそれなりの根拠があるんだから、まっそれで良いかなと言うこと。

式の形式からしたら、(円周率)×(半径)×(半径)でしょうね。一般的に定数が前なので。 まっ、小学校で習うのは、式(の形式)としては一次的と割り切って良い。

投稿: ほんだ | 2013/12/05 10:30:30

πr^2 については、(半径)×(半径)×(円周率)しか正解ではないという数学上の理由は無い。長方形の面積も同様で(縦=a, 横=b として)
 S=a*b=b*a
である。

けれども「饅頭3個5皿」の饅頭の総数は(3個乗った皿が5皿と考える限りに於いて)
 饅頭3個×5=饅頭(3×5)個
であらねばならない。

この「数学上の」チガイが分からん限り「掛け算の順序」に口を挟む資格はない。

資格がないのに口を挟む連中がネット上には多過ぎるようだ。

なお。教育上の問題は(「数学上の正しい認識」を踏まえた上で)別である。

投稿: nomisuke | 2014/01/10 1:51:05

>積分定数 ‏@sekibunnteisuu

#掛算 皆さんの知恵をお貸し下さい。

「かけ算の順序はどちらでもいい」というのを市教委が市教委の公式見解であることを、客観的にも明白にする方法はありませんかね?

こういうときにマスコミとか動いてくれるとありがたいのだが

市議とか第三者に同席してもらうとかどうかな

(2014年1月10日のさえずり)

このさえずりを1月10日にした人もだまってリさえずりした人も掛け算の順序の「押し付け」を批判しているのだが、そんで、リさえずりした人は他にも権力からの押し付けをいろいろ批判しているのだが、「かけ算の順序はどちらでもいい」ことを権力を利用して「押し付け」ようとしている。大笑。

念のため。「掛け算の順序にどんな場面でも意味が無い」というのは「数学上の」大ウソ。

投稿: nomisuke | 2014/01/11 1:11:57

以下記事と直截関係なくてブログ主のつれづれ技術屋さんには申し訳ない。

twitter.com/genkuroki/status/402363766043471873

Gen Kuroki@genkuroki 1月19日
#掛算 【再】掛算の順序にこだわる教え方への批判に反論したい人には画像 pic.twitter.com/RTmLAM5X のような教え方を小学校六年生相手にすることへの賛否を明確に述べてもらいたいです。この情報の拡散と賛否を明らかにさせる方向への誘導に御協力をお願い致します。

というサエズリがあった。

とくに「掛算の順序にこだわる教え方への批判に反論したい人」を指名して「画像 pic.twitter.com/RTmLAM5X のような教え方を小学校六年生相手にすることへの賛否を明確に述べてもらいたい」というが、小生ナドのように
 
y=x×8

とするのがもっともよろしいと思っていても「文章の流れから言えば x×8=y を推奨したい。」には教え方としてあまり賛同出来ない。というワケで「否」と書いたら「ホラみろ。掛算の順序にこだわる教え方への批判に反論できないだろ。」などと見当チガイの解釈をされたらたまらんね。

他にも。小学校六年生に教えるのと二年生に教えるかのチガイもある。

また
 y=8×x
はダメとしても「8円のノートがx冊」という意味になってしまうので問題文とは合わない。という説明には首をかしげる場合もある。

斯様に「掛算の順序にこだわる教え方への批判に反論したい人」に「賛否のどちらかをセマって」0か1かの踏み絵を踏ませようというやり口には賛成できんよ。トンデモないことを言い出してるな。やめて呉れ。

投稿: nomisuke | 2014/01/19 1:55:54

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